Устойчивое сочетание: мозговой штурм.
Лучше писать мозговой штурм.
Это слово пока что не зафиксировано нормативными словарями современного русского языка, так что его написание еще не устоялось. В практике письма лидирует вариант брейнсторм, встречаются также варианты брейншторм, брейнштурм, брейнстурм.
К настоящему времени этот оборот получил широкое распространение, поэтому писать его следует без кавычек.