Кавычки не нужны. Правильно: День сухопутных войск Вооруженных сил Российской Федерации.
Верно: главком сухопутными войсками. Подробнее см. от вопросе 252501.
Первый вариант неправилен. Второй вариант возможен, также возможен и вариант написания без прописных букв. По отношению к ведомству Морского министерства Российской империи, полагаем, сейчас приемлемы оба написания. Какой была форма названия в официальных документах, нам установить не удалось, но в публикациях об истории российского флота встречаются и вариант со строчной, и вариант с прописной (неправильные написания тоже попадаются, но на них ориентироваться не стоит). Главное, чтобы в одном тексте использовался какой-то один вариант.
Мы передали Ваш вопрос В. В. Лопатину. По его словам, орфографически верным следует считать написание область Войска Донского (как в первом издании «Русского орфографического словаря», 1999; как в электронной версии словаря, размещенной на нашем портале). Иные написания – следствие технической ошибки, они будут исправлены при переиздании словарей.
Вы корректно процитировали словарные рекомендации.
Правильно: область Войска Донского.
Это название не склоняется.
Возможны оба варианта (раздельно - при подчеркивании отрицания либо при противопоставлении).
