Это синонимы, выбор зависит от того, как называется должность конкретного человека.
Букву Ё не обязательно писать в слове шофер ни в начальной форме, ни в формах косвенных падежей. Ударение в формах косвенных падежей остается на Ё: шофёрам.
Правильно, конечно же, шофёр. Аргумент только один – ссылка на любой нормативный словарь русского языка.