Корректно дефисное написание.
Следует писать с буквой И, поскольку нарицательные существительные полностью подчиняются орфографическим правилам, в том числе правилу о написании И после Ш.
Корректно: диагноз рак (нет знаков препинания между определяемым словом и приложением); Диагноз - рак (тире ставится между подлежащим и сказуемым).
Согласно «Русскому орфографическому словарю» РАН (4-е изд., М., 2012), правильно слитное написание: базальноклеточный.
Во мн. ч. - Кубки мира (как Олимпиады).
Следует писать слитно.
Верно: примет участие в чемпионате мира.