Корректно дефисное написание.
Возможны варианты слогоделения: ша-пка, шап-ка.
Правилен первый вариант. Ср.: чей? — Сонин, Яшин, Томарин.
В разных контекстах возможны оба варианта. О человеке обычно говорят: на нем была надета шапка (или просто на нем была шапка).
Корректно: придать (чего?) шика.
См. в «Письмовнике».
Да, это орфограмма.
См. в Письмовнике.