Да, мужская фамилия Король склоняется. Правильно: Королю Евгению.
Если фамилия сопровождается мужским и женским именами, то она сохраняет форму единственного числа: Татьяна и Олег Король.
Корректно написание Мышиный король (имя собственное, выраженное прилагательным, с последующим родовым словом). Ср.: Маленький принц, Снежная королева, Спящая красавица, Скупой рыцарь и др.
Да, склонение мужской фамилии Король обязательно (женская фамилия не склоняется).
Склоняются мужские фамилии Бутон и Король. Фамилия Прокопенко не склоняется.
Это можно сделать в «Личном кабинете». При возникновении затруднений пишите нам: portal@gramota.ru.
Все три варианта корректны. Выбирать Вам.
Ударение на втором слоге: король Арту́р.
Мужские фамилии Пак и Король склоняются, женские – нет.