Название склоняется: в «Войне и мире», по «Войне и миру».
Имя Миа не склоняется. Не склоняются мужские и женские фамилии и личные имена, оканчивающиеся на -а с предшествующей гласной. Правильно: у Миа.
Возможные варианты: любимой экранизации романа "Война и мир" и любимой экранизации "Войны и мира".
Верно с маленькой буквы: карта мира.
Возможны оба варианта. Подробнее о склонении подобных имен см. в вопросе 235047.
Орфографически правильно: «Мой мир».
Увы, контекст не слишком ясен... Но полагаем, что корректно: мир рождается в сознании...
Возможны варианты: доступ к чему-либо, доступ куда-либо. Не вполне ясно, каков смысл фразы.