Мужские фамилии, оканчивающиеся на согласный, нужно склонять. Нанайские фамилии в русском языке следуют общему правилу.
Мужская фамилия Беккер склоняется, соотносительная женская - нет.
Правильно без кавычек: агентство Рейтер.
В таких случаях род определяется по родовому слову, то есть "Поль Бейкери" также женского рода: соседняя "Поль Бейкери".
Правильно: рэпер.
Верное написание: мисс Геймер, вице-мисс Геймер.