В данном случае написание слова нужно запомнить или проверить по словарю.
Склоняются оба слова: Дед Мороз, Деда Мороза, Деду Морозу...
Запятые поставлены правильно.
Да, мужская фамилия склоняется.
Возможны оба варианта.
Возможно написание и медцентр (сложносокращенное слово), и мед. центр (графическое сокращение слова медицинский).