Картофель – стилистически нейтральное слово, картошка – разговорное. В СМИ поэтому лучше употреблять слово картофель.
Да, эти слова можно назвать однокорневыми синонимами.
Ударение падает на последний слог: река широкА.
Написание полугнилая картошка правильно.