Лучше (если таракан в еде): у меня в тарелке. Если таракан на краю тарелки, то можно сказать и "на тарелке".
Прилагательное на -ский, образованное от собственного имени, пишется со строчной буквы, кроме тех случаев, когда оно стоит в начале составного названия. Вопрос в том, приводите ли Вы в предложении официальное название библиотеки или даете описательный оборот. Ср.: учиться в московской школе и учиться в Московском государственном университете.
Следует склонять: жители города Абакана.
Корректно: обамомания.
Правильно через дефис: барабан-сепаратор. См.: Русский орфографический словарь РАН / Под ред. В. В. Лопатина, О. Е. Ивановой. – 4-е изд., испр. и доп. – М., 2012.