Согласно орфографическим правилам и словарной кодификации верно: Верховный суд Республики Башкортостан. Однако в «Справочнике по оформлению правовых актов в Администрации Президента Российской Федерации» зафиксировано написание Верховный Суд Республики Башкортостан. Это дает основание различать написание в официальных нормативных правовых актах и в других сферах.
Литературная норма: обжалованы в суде.
Если значение "раз в суд, так в суд", то возможен вариант оформления: В суд – значит в суд.
Правильно: обжаловать где-либо: обжаловать в Арбитражном суде.
Все слова пишутся со строчной. Как первое слово официальных названий корректно с прописной, например, Арбитражный суд Республики Ингушетия.
Правильно: обжаловать в суде, обжалование в суде.