Верно: он занимался черт-те чем.
Такова была некогда орфографическая норма.
Пожалуйста, задайте вопрос.
Допустимо с запятой и без запятой: тьфу ты, чёрт и тьфу ты чёрт. Чаще встречается вариант с запятой. Но окончательное решение – за автором текста.
Нет, так сказать нельзя. Правильно на кой чёрт или какого чёрта, за каким чёртом.