В значении 'находиться в рабочем состоянии' по отношению к часам используются оба глагола: идти и ходить. Поэтому оба сочетания возможны. Есть небольшой нюанс: глагол ходить обычно используется, если речь идет о приспособлениях и механизмах, основанных на движении вперёд — назад или вверх — вниз. Поэтому сказать о настенных часах с маятником часы перестали ходить более естественно, чем, например, об электронных часах, встроенных в какой-либо прибор.

Правильно: часы-скелетоны. 

Кавычки нужны.

Сочетание стрелочные часы корректно.

Нет, выражение «сверить часы» не берется в кавычки, поскольку оно является устойчивым сочетанием 

Часы, которые носят на запястье, называются наручными.

Корректно: на станции метро.

Правильны оба варианта (они фиксируются словарями русского языка), но в живой речи чаще употребляется вариант наручные часы.