Кавычки не нужны: ГУМ, ЦУМ.
В разговорной речи эта аббревиатура склоняется.
Правильно: лугский. Прилагательное лужский образуется от названия города Луга.
Орфографический словарь регламентирует только написание языковых единиц. Различные другие сведения (грамматические, орфоэпические, стилистические) даются как вспомогательная информация для опознания слова, его отличия от других единиц, в чем-то сходных. Эти сведения отражают существующую норму, иногда вариативную, но не ранжируют варианты стилистически, не дают сведений о специфике их употребления в разных типах текстов.
Аббревиатура ЦУП зафиксирована в орфографическом словаре как слово мужского рода, которое может склоняться (на это в словарной статье указывает окончание -а) или не склоняться (об этом сигнализирует помета нескл.). Такими же грамматическими характеристиками обладают и другие аббревиатуры, например: МИД, ОМОН. Некоторые аббревиатуры склоняются в разговорной речи и не склоняться в текстах документов. Подробнее об этом см. в «Письмовнике».
Ваш вопрос о склонении аббревиатуры ЦУП передан редакторам «Русского орфографического словаря» и «Академоса». Если при проверке установят, что аббревиатура склоняется во всех типах текстов, то грамматические сведения в стате будут скорректированы.
Аббревиатуру СУГ не нужно заключать в кавычки.
В этом предложении ставить запятые не нужно.
Грамматически правильно: Девочка несётся через луг к ручейку, протекающему в низине. Но стилистически предложение неудачно.
Корректно: ...назначить ответственным за работу с договорами табельщицу А. И. Иванову.
Удвоение "р." не требуется.