Пишут раздельно: по ходу (как и литературное по ходу: по ходу дела).
Ваш вопрос?
Слово отдел (учреждения) пишется со строчной буквы: отдел правового анализа.
Оба варианта верны.
Раздельное написание соответствует следующему правилу: пишутся раздельно наречные сочетания (два или более), в которых опорное существительное употребляется в разных предложно-падежных формах. Ср.: в ходу, на ходу, с ходу, по ходу. Подробнее см. здесь.
Верно раздельное написание.
Корректно: На ходу он кинул: «Береги его!» – и вышел за дверь.