Корректно написание строчными: край наш северный.
Вы написали правильно.
Употребление слова ядерный в значении 'центральный, важнейший, главный' стало привычным, поэтому кавычки не нужны.
Все верно, только вместо дефиса необходимо тире (иначе получается сложное слово Рейн-Вестфалия): в земле Северный Рейн – Вестфалия.
Корректное оформление: 4-ядерный. Может быть, лучше написать буквами: четырехъядерный.
Гендерный (от англ. gender - род) - связанный с различиями людей по полу.