См. ответы на вопросы № 412824">263338 и 264234.
Правильно: в Нови-Саде.
Корректно: в районном детском саду.
При Саде... (форма на -у только в местном значении: где - в саду, в лесу, в порту).
Правильно: в детском саду.
Правильно: в Новом Саде. «Словарь грамматических вариантов русского языка» Л. К. Граудиной, В. А. Ицковича, Л. П. Катлинской (М., 2008) указывает, что если существительное употреблено в сочетании с прилагательным, то в нейтральном стиле письменной и устной речи выбирается форма на -е, ср.: в Хабаровском крае, в телевизионном мосте, в головном мозге, в длительном отпуске.
Правильно: в детском саду.