Правильно: кафедра механики.
Верен первый вариант.
Корректно: фотовидеоконкурс; фото- и видеоконкурс.
Грамматически корректно: оба фото. Слово фото среднего рода. Обратите внимание: слово фото в значении 'фотография' разговорное. В книжной речи сочетание оба фото стилистически неуместно.
Возможны оба варианта — ровно так же, как правильно и сюжет в телепередаче, и сюжет по телевидению.
Правильно: автомотовелогонки.
Лопатин В. В., Нечаева И. В., Чельцова Л. К. Прописная или строчная? Орфографический словарь. М., 2011:
кафедра, -ы (в вузе или другом учреждении), напр.: кафедра русского языка, кафедра иностранных языков, кафедра органической химии
Правильно: фото из Интернета.
Механик – существительное мужского рода, обозначающее лицо женского рода в приведенном примере. Согласование наша механик Петрова преобладает в разговорной речи.
Аббревиатура ФОТ (фонд оплаты труда) не склоняется.
