Это произошло в 1917-18 годах в ходе реформы русской азбуки и орфографии (были исключены буквы i, "фита" и "ять", отменено употребление ъ в конце слов и частей сложных слов, был внесен и ряд других изменений). Реформа была проведена ввиду очевидной необходимости упрощения русского правописания, и подготовка к ней началась еще в 1904 году, когда в Академии наук была создана Орфографическая подкомиссия под председательством Ф. Ф. Фортунатова. Проект изменений был готов в 1912 году, однако он не был принят, и новая русская орфография была введена только в 1917-18 годах, причем некоторые пункты проекта 1912 года были изъяты и не вошли в новые правила.

Приведенное Вами выражение чаще записывается в современной графике — с буквой и. Кавычки в нем возникают под влиянием специальных текстов (в частности, лингвистических), в которых буквы принято выделять курсивом (так, например, в наших ответах). Однако курсив в названиях букв, записанных словом (бэ, вэ, же, твердый знак, фита, ижица, э оборотное, и десятеричное, и восьмеричное, и краткое, и), как и кавычки, избыточен. Приведем другие примеры фразеологизмов с названиями букв: на ять, писать (выделывать) мыслете, от аза до ижицы, от альфы до омеги, от а до я. Если во фразеологизме необходимо заменить и на i, то кавычки тем более не нужны: иная графика (латиница или вышедшие из употребления буквы кириллицы) — достаточное средство выделения.

Наша общая рекомендация — не выделять букву во фразеологизме ни курсивом, ни кавычками (см. также фиксацию фразеологизма и других названий букв в базе орфографического академического ресурса «Академос»). Но мы не можем не отметить, что иногда от общих рекомендаций приходится отступать под влиянием всего текста, его оформления, расположения на странице. Такие решения принимает редактор.

Правильно: ФИФА определила победиителя.

См. в Письмовнике.