Верно: стрижка квифф.
Правильно: губернатор Тюменской области. Что касается президента, то прописная нужна только в официальных названиях: Президент Российской Федерации. См. также в Горячей десятке вопросов.
Оба варианта возможны.
Если имеется в виду метод, по которому можно инициировать звонок, то верно: метод инициирования звонка.
Слово инициация имеет другое значение.
Правильно: вход в дельфинарий (форма винительного падежа этого слова совпадает с формой именительного падежа).
Нет, в этом выражении имеется нарушение лексической сочетаемости. Корректно: оказывать помощь, осуществлять уход.
Оба варианта корректны.
Кавычки не требуются.