Существительное Интернет склоняется: в Интернете, из Интернета. Корректно: торговля через Интернет. Правильное написание: фастфуд.
Корректно написание с буквой Е.
Орфографически и грамматически корректно: факт непроживания. Обратите внимание: приведенный Вами оборот — канцелярский.
Флексией.
Орфографических ошибок нет.
Выражение некорректно (факт не может быть лживым или правдивым).