Правильно: музей «Банный корпус».
Корректно: (когда?) в данный момент, на данный момент.
Словарной фиксации нет. Преобладает написание со строчной буквы, этой тенденции и нужно следовать.
В словаре Лопатина В. В., Нечаевой И. В. и Чельцовой Л. К. «Прописная или строчная? Орфографический словарь» (М., 2011) рекомендуется в этом имени сказочного персонажа писать все слова с прописной буквы.
Нет, это не омонимы. В сочетании красный командир прилагательное изменило свое значение.
Пожалуйста, воспользуйтесь словарями.
Оба варианта правильны.
Не нужна. Придаточные предложения, присоединяемые союзом «в связи с чем», выделяются (или отделяются) запятыми, но после самого союза запятая не ставится.