Это слово существует, оно зафиксировано в словаре.
Орфографически верно: контрвласть. Приставка контр... пишется слитно.
Предлагаем такой вариант: Джон Керри предостерег Анкару от любых действий, которые позволили бы усомниться в ее приверженности демократии и могли бы испортить отношения с союзниками по НАТО.