Правильно: в Новом Уренгое, в городе Новом Уренгое, в г. Новом Уренгое.
См. в Горячей десятке вопросов.
Оба способа слогораздела возможны.
Корректно: мэр Москвы, мэр города Москвы.
Сочетание Москва-река пишется через дефис, при этом первую часть названия можно склонять, но можно и оставить несклоняемой.