Оба варианта правильны.
Запятая не ставится, т. к. оборот с как имеет характер устойчивого сочетания.
Глагол звать сочетается с формами именительного и творительного падежей. Правильны оба варианта: меня зовут Андрей и меня зовут Андреем, его зовут Анатолий Петрович и его зовут Анатолием Петровичем.
Да, эта фамилия обязательно должна склоняться: Кулеша Андрея, Кулешу Андрею и т. д.
Да, ошибка есть. Запятую нужно поставить.
Такой "вопрос" может существовать только как мнемонический прием для определения и запоминания грамматической формы.
Склоняется и имя, и отчество: Диплом выдан Андрею Михайловичу.