Оба варианта правильны.
Запятая не ставится, т. к. оборот с как имеет характер устойчивого сочетания.
Глагол звать сочетается с формами именительного и творительного падежей. Правильны оба варианта: меня зовут Андрей и меня зовут Андреем, его зовут Анатолий Петрович и его зовут Анатолием Петровичем.
Да, эта фамилия обязательно должна склоняться: Кулеша Андрея, Кулешу Андрею и т. д.
Да, ошибка есть. Запятую нужно поставить.
В деловых текстах часто пишут так: договор заключен между сторонами. В то же время встречается и оборот договор заключен сторонами.
Запятая нужна в обоих примерах.