Это союз но и предлог несмотря на. Верно: Но, несмотря на все уговоры, Катя решила бросить университет.
Запятая перед союзом и нужна. Слово нет не является ни второстепенным членом предложения, ни придаточной частью.
Фраза восходит к популярному анекдоту: Видишь здание банка за моей спиной? У нас с ними уговор: я не даю