Правильно без мягкого знака.

См. в «Справочнике по фразеологии».

Вы правы, корректно слитное написание. 

Верно и так и так.

Оба варианта верны.

Удалить в значении 'устранить что-л. оперативным путём; вырезать' – слово, характерное для медицинской речи. С ним такое неточное, разговорное употребление вряд ли возможно, поэтому корректно: удалить опухоль. 

Слово рак вместо опухоль может использоваться в разговорной речи, но с другими глаголами, в первую очередь –  вырезать.  Ср.: Месяца два назад у его сестры вырезали рак, и теперь все ждали возврата болезни (А. Чехов, Три года).

Правильно: уделять время разговорам, тратить время на разговоры.

Верно: удалить волосы под мышкой. Подробнее см. в словарях.

Никелированный - это "покрытый слоем никеля". Верно: никелированная посуда, никелированная решетка-гриль, но никелевое покрытие.