Сложносокращенные слова типа партячейка являются исключением из правила о разделительных знаках. Правило можно посмотреть тут. Конечно, орфография таких слов провоцирует их неправильное прочтение. Попытки изменить написание предпринимались, но не были успешными. К счастью, таких слов немного, они легко запоминаются и узнаются. Написание парт. ячейка вполне возможно.

Минздрав и Минтруд – существительные мужского рода. Аббревиатура МВД употребляется как существительное среднего рода (влияние опорного слова министерство),  аббревиатура ФМС – как существительное женского рода (влияние опорного слова служба).

Напомним правило:

Обороты с производными предлогами и предложными сочетаниями обязательно обособляются, если они располагаются между подлежащим и сказуемым: разрыв их непосредственной связи и способствует выделению оборотов.

А теперь, собственно, к проблеме: считать ли слова "с помощью" и "при наличии" производными предлогами? В словарях эти сочетания обозначаются как выступающие "в значении предлога", но не как собственно прелоги. В чем различие? В том, что в русском языке возможны полноценные словосочетания помощь друзей и наличие друзей, в которых слова помощь и наличие - главные компоненты; настоящие производные предлоги таких сочетаний обычно не образуют. Сравните: благодаря, вопреки, ввиду, в целях, в связи с, во избежание, вследствие, по случаю, по причине, при наличии, согласно с, в отличие от, в противоположность, наподобие, при условии, в силу, за отсутствием, несмотря на, невзирая на, спустя, независимо от... (Согласны, в некоторых случаях образовать словосочетание получится, но это уже вопрос, скорее, к формулировке правила.)

Таким образом, на наш взгляд, в приведенных Вами двух последних примерах постановка запятой обязательной не является.

Нужно убрать запятую после слова "может".