Во избежание путаницы лучше: в торговом центре "Электронный рай". Если в сочетании лес доменов слово лес используется в переносном значении, корректно: в лесу доменов (находиться); в лесе доменов (разбираться).

Правильно (в пословице): Лес рубят - щепки летят.

В  «Большом академическом словаре русского языка» слово бор толкуется как 'хвойный, преимущественно сосновый лес, растущий на сухом возвышенном месте' и приводится иллюстрация: Сосновый бор. Таким образом, сочетание сосновый бор ошибочным не является, как вполне возможны и сочетания: еловый бор, сосново-еловый бор и под.

Ср.: Сверху, из дальних мест, еловых боров, сплавляют по ней строевой лес. Ю. Коваль. Еловый бор подступал к шоссе. Ю. Трифонов.

Лучше всего написать: лес, в котором растут только каменные дубы (...растет только каменный дуб).

Предложный падеж с местным значением: в зимнем лесу.

Не ставится тире, в остальном все верно.

Правильно: шварцвальдский лес (о лесе, расположенном в Шварцвальде).

"Зардеться" означает "покраснеть".

Это не идиома.