Правильно: прием пациентов врачами.

Управление этого достаточно нового для русского языка еще не устоялось, так что верны оба варианта. 

Ваше наблюдение верное: предложное сочетание тренер по (чему-либо) включает существительное, обозначающее вид спортивной деятельности. Очевидно, что выражение тренер по вратарям к такому ряду номинаций не относится. По сравнению с ним, словосочетание тренер вратарей и в смысловом, и в грамматическом отношении совершенно корректно. Однако это словосочетание не передает ясно и отчетливо ту идею, какая объединяет сочетания с предлогом по, — идею специализации тренеров, их профессионального деления с учетом конкретной практики. При необходимости обозначить специализацию (важный аспект в профессиональной коммуникации) выручают нестандартные обороты, такие как тренер по вратарям (ср. также в бизнес-среде тренер по персоналу).

См.: Как составить резюме?

Придаточное изъяснительное предложение в составе сложноподчиненного может начинаться с союза как. Обычно такая придаточная часть стоит после главной (ср.: Из этой инструкции можно узнать, как настроить прием заявок). Перемещение ее в начало предложения придает высказыванию легкий оттенок разговорности.

Правильно: серебряный призер олимпиады.

Корректно: прием больного врачом-терапевтом; на приеме у врача-терапевта.

Нужен знак конца предложения.

Верно: личный прием губернатором.