Заглавная и прописная буква – это одно и то же (большая буква). Маленькая буква называется строчная.
Слово храм 'архитектурное сооружение' пишется со строчной, например: храм Всех Святых, храм Христа Спасителя. Прописная буква – в таком контексте: орден рыцарей Храма.
Слово государственный пишется с прописной буквы, если является первым словом в названии органов власти, учреждений, организаций, научных, учебных, зрелищных заведений; наград, символов и т. п, например: Государственная Дума, Государственная Третьяковская галерея, Государственный фонд кинофильмов РФ, Государственный институт русского языка им. А. С. Пушкина, Государственный флаг РФ (в офиц. текстах), Государственная премия. В остальных случаях правильно написание со строчной, например: Единый государственный экзамен, Московский государственный лингвистический университет, государственное унитарное предприятие, органы государственной власти.
Некоторые прилагательные от имен собственных, что хорошо известно, образуются при помощи суффикса -ск-.
См. в наших словарях.
Условные названия заключаются в кавычки: галерея «Глобус», галерея «Марс», галерея «100 своих». Но: галерея Уффици, галерея Тейт.
Корректно: ...под названием Третьяковской галереи.
В кавычки заключаются только названия, не сочетающиеся синтаксически с родовым словом (и в таких названиях пишутся с прописной буквы первое (или единственное) слово и собственные имена), например: посетил музей «Садовое кольцо». Если синтаксическая сочетаемость присутствует, кавычки не нужны: посетил Третьяковскую галерею, посетил Русский музей.
