Тире ставится во всех указанных случаях, так как подлежащее и сказуемое выражены существительными. Условий для пропуска тире нет.
По основному правилу тире не ставится, так как перед сказуемым стоит отрицательная частица не.
Правильно: Древний Рим (государство) и древний Рим (город).