Тире ставится во всех указанных случаях, так как подлежащее и сказуемое выражены существительными. Условий для пропуска тире нет.
По основному правилу тире не ставится, так как перед сказуемым стоит отрицательная частица не.
Правильно: Древний Рим (государство) и древний Рим (город).
Правильно: третьим.
Мужские фамилии Сладкевич, Лим, Ким склоняются, соотносительные женские – нет.
У слова "третий" основа оканчивается на -j (то есть все слово - основа), а в косвенных падежах основа звучит как "третьj". Поэтому верно: третье, третья, третьего и т. д.
Подробности здесь: http://rusgram.narod.ru/1315-1341.html
Возможны оба варианта, но чаще используется форма единственного числа. См. подробнее в «Справочнике по правописанию, произношению, литературному редактированию» Д. Э. Розенталя и др. (§ 194).
