Предпочтительно: тревога за детей.
Правильно: тренеры.
Предпочтительно: тенора, но допустимо и теноры.
Указанная запятая нужна: Некоторые, особенно восточноевропейские, страны давно бьют тревогу...
Верно в этом случае: Это подопечный нашего тренера.
Ошибки нет. Так сказать можно.