Правильно: тренеры.
Литературная норма: тренеры. Слова в словарях надо искать по начальной форме (у существительных это форма ед. числа именительного падежа, т. е. искать в словаре надо не тренеры, а тренер).
Верно в этом случае: Это подопечный нашего тренера.
Это слово не зафиксировано словарями и недостаточно освоено русским языком. Но его склонение возможно.
Слово конечно вводное, поэтому нужна запятая. Подробнее см. в «Справочнике по пунктуации».
Это слово испытывало колебания в написании, когда осваивалось в языке. Но это было давно. Сейчас правильно только карате. См.: Русский орфографический словарь РАН / Под ред. В. В. Лопатина, О. Е. Ивановой. – 4-е изд., испр. и доп. – М., 2012.