Да, мужская фамилия Король склоняется. Правильно: Королю Евгению.
Имя не склоняется.
Да, склонение мужской фамилии Король обязательно (женская фамилия не склоняется).
Склоняются мужские фамилии Бутон и Король. Фамилия Прокопенко не склоняется.
Выбор глагола зависит от строя предложения и смысла.
Если фамилия сопровождается мужским и женским именами, то она сохраняет форму единственного числа: Татьяна и Олег Король.
Это можно сделать в «Личном кабинете». При возникновении затруднений пишите нам: portal@gramota.ru.
Все три варианта корректны. Выбирать Вам.
Мужские фамилии Пак и Король склоняются, женские – нет.