Оба варианта правильны.
Об этом можно узнать в наших электронных словарях (набрать приведенные слова в окне «Искать на Грамоте»).
Прилагательное от слова такси не образуется. Но в русском языке употребляется прилагательное таксомоторный, образованное от существительного таксомотор – то же, что такси.
Правильным было бы воспользоваться словарями, например в рубрике "Проверка слова" на нашем портале.
В этимологических словарях отмечается родство слов с корнями тесн- (тесный, вытеснять и др.) и тис- (стиснуть, тиски и др.).
Нужно склонять: у "Максима".