Для точного ответа нужно знать контекст. Вне контекста лучше: идея подарка.
Первая часть сложных слов бизнес- присоединяется дефисом: бизнес-идея.
Правильно: идея кого-чего.
Правильно: Аристотелева идея.
Такая проверка возможна. См. словарные статьи к словам идеологический и идеология в информационно-поисковой системе «Орфографическое комментирование русского словаря».
Правильно: спасательным кругом.
Правильный вариант: «Автор подчеркнул, что главная идея произведения заключается в...»