Тбилиси – существительное мужского рода.
Названия этих городов – существительные мужского рода.
Пожалуйста, используйте словари.
Корректная пунктуация: В Грузию, точнее в Тбилиси и Батуми, турпоток из РФ с начала года вырос.
Такая форма корректна. Предлог "по" в значении "после" используется с существительным в форме предложного падежа.