Корректно раздельное написание: купальник бикини, купальник танкини, трусы слипы.
Написание этих сочетаний испытывало колебания, но теперь мы можем опираться на словарную фиксацию. В 4-м издании «Русского орфографического словаря» РАН (М., 2012) зафиксировано: купальник бикини. Ответ на вопрос № 240471 исправлен.
Корректное написание: купальник танкини, трусы боксы, трусы слипы, бюстгальтер пуш-ап.
Ни граммом больше - корректно.
Это слово, конечно, употребляется во множественном числе. Правильно в родительном падеже: танинов.