В значении 'вид стилизованного национального танца в отличие от классического и салонного' – харáктерный танец. Воспользуйтесь также ресурсом «Проверка слова».
Правильно: танец из «Мулен Руж». Обратите внимание: если всё это сочетание заключено в кавычки, верно такое оформление: «Танец из "Мулен Руж"». Кавычки одного рисунка рядом не повторяются.
Словарной фиксации нет. Имеет смысл это малоизвестное название не склонять.
Кавычки не нужны, если эти слова используются в тексте в своих привычных значениях.
Матаней называют частушку из двух стихов.
Предложение составлено верно.