Разные справочники дают разные рекомендации (подробнее см. в "Письмовнике"). На практике названия городов из двух слов, если они следуют после родового слова город, чаще не склоняют.

Без слова театр здесь не обойтись. Корректно: актер работает в Театре на Таганке. 

После слов "в частности" не нужна запятая.

Транслировать - передавать по телевидению с места действия в прямом эфире. Вряд ли телевизор способен на такое. Но тем не менее фраза "по телевизору транслируется..." корректна.

Вероятно, с этим вопросом надо обратиться в администрацию Нижнего Тагила.

Согласимся, приведенное пунктуационное оформление предложения неудачно. В качестве разделителя частей можно использовать тире: Татары были — и будут, если на то будет воля Аллаха!

Правильная форма родительного падежа: Багам.

Верно в р. п.: директора Морозовой Тамары.

Склоняется и мужская, и женская фамилия.