В словарях есть оба слова.
На практике возможны оба варианта, предпочтительный лучше уточнить у носителя фамилии.
Верно написание со строчной буквы во всех перечисленных случаях.
Корректно: удачный день.
Можно так: продлить командировку на один день.
Мужская фамилия Пень склоняется, женская — нет. Мужскую фамилию лучше склонять с сохранением гласного: Пеня, Пеню и т. д.
Верно написание первого слова с прописной.
Окончание зависит от того, куда падает ударение в имени. Если на последний слог, тогда в дательном падеже: Фахрие (с ударным е). Если ударение в имени на основе, тогда верно: Фахрии.