Словарной фиксации нет. Склонять это название не следует.
Если слово биеннале употребляется в значении "фестиваль", то используется как существительное мужского рода.
Правильно: Московский государственный ансамбль танца «Русские сезоны».
Такое употребление не будет литературным. Есть балетный термин па-де-труа.
Рекомендации см. в Письмовнике.
Возможны оба варианта. Однако если речь идет о школе, в которой учат танцевать один танец (например, танго), то правильно: школа танца.
Правильно: глава муниципального образования «Станица Динская».
Да, требуется склонение, в том числе и при употреблении названия в функции приложения.