Правильно: Московский государственный ансамбль танца «Русские сезоны».

Если слово биеннале употребляется в значении "фестиваль", то используется как существительное мужского рода.

Словарной фиксации нет. Склонять это название не следует.

В известных нам орфоэпических словарях и словарях имен собственных это наименование не зафиксировано. Однако мы переадресовали Ваш  вопрос ростовским краеведам, которые сообщили, что ударение падает на первый слог: станица Грушевская. Название станице дано по названию реки Грушевка, которое зафикисировано в "Словаре собственных имен русского языка" Ф. Л. Агеенко. 

Правильно: глава муниципального образования «Станица Динская».

Да, требуется склонение, в том числе и при употреблении названия в функции приложения.

Возможны оба варианта. Однако если речь идет о школе, в которой учат танцевать один танец (например, танго), то правильно: школа танца.

Рекомендации см. в Письмовнике.