Как собственное наименование объекта в Сочи - с большой буквы: Олимпийский парк.
Это разные падежные формы. Пара слов – именительный падеж (есть у меня к тебе пара слов), пару слов – винительный падеж (хочу сказать тебе пару слов). Это сочетание допустимо в разговорной речи.
Верно: не хватило пары прогонов.
Возможны оба варианта (см., напр.: Левашов Е. А. Географические названия: Словарь-справочник. СПб., 2000). Слово Сочи может употребляться и как существительное мужского рода (влияние родового слова город): олимпийский Сочи, в олимпийском Сочи, и как существительное, имеющее формы только множественного числа: олимпийские Сочи, в олимпийских Сочи.
Правильно: понадобилось несколько минут. В разговорной речи: понадобилась пара минут.
Правильно: осталась пара шагов или осталось сделать пару шагов.
Верно: Я вернулся из отпуска, из Сочи.
Верно: Была пара моментов.
