Кавычки нужны.
В этом предложении следует использовать форму единственного числа: «Помолодело» такое заболевание, как сахарный диабет...
Оба варианта верны, разница в стилистической окраске. Слово сковорода стилистически нейтральное, сковородка – разговорное.