Согласование — по родовому слову: ураган «Катрина» разрушил. Ср. без родового слова: «Катрина» разрушила.
Определить разряд прилагательных по значению Вам поможет учебник Е. И. Литневской «Русский язык: краткий теоретический курс для школьников».
Верно: деревья обезображены вследствие урагана.
Названия стихийных бедствий (ураганов, тайфунов, торнадо и пр.) заключаются в кавычки и пишутся с прописной буквы. Название урагана, о котором Вы говорите, пишется обычно с двумя н (ураган назван не русским именем Денис, а английским именем Dennis): ураган «Деннис», город пострадал из-за урагана «Деннис».
Однако фразу Урагану «Деннис» исполнился один год нельзя назвать корректной. Лучше перестроить предложение. Например: Исполнился один год с того дня, когда над Соединенными Штатами пронесся ураган «Деннис».
Лучше написать так: весь январь был снежным или все январские дни были снежными.
Это слово исключением не является, перенос не-жный допустим (хотя и менее желателен, чем перенос неж-ный).
Исторически слово нежный, конечно, связано с нега, когда-то оно было образовано от этого существительного. Но в современном русском языке живые словообразовательные связи между этими словами утрачены, поэтому сейчас мы назовем прилагательное нежный непроизводным и выделим в нем корень нежн-.
