Правильное написание: Год снегиря.
Орфографически верно: снегирь, снегири.
В современном русском языке эти слова не однокоренные.
Формально главные члены предложения - "удивительное занятие" и "ловить". Но, поскольку это предложение имеет разговорный характер, такая "формальная" характеристика не может быть исчерпывающей.