В географических и административно-территориальных названиях — названиях материков, морей, озер, рек, возвышенностей, гор, стран, краев, областей, населенных пунктов, улиц и т. п. — с прописной буквы пишутся все слова, кроме родовых понятий (остров, море, гора, область, провинция, улица, площадь и т. п.), служебных слов, а также слов года, лет).

Таким образом, верно: сквер Двенадцати Лучей (если речь идет о московских Кузьминках, то официальное название: парк Двенадцати Лучей).

Слово имени в подобных случаях выступает в роли предлога (то есть служебного слова) и поэтому пишется с маленькой буквы. 

Предложение написано верно.

Правильно: в сквере.

Запятую ставить не нужно: обозначение даты и времени в подобных случаях составляет единое обстоятельство. Заключенное в кавычки название сквера сохраняет начальную форму: в сквере «Молодёжный».

Это сочетание как географический термин должно писаться с большой буквы: Северная Калифорния.

Если это официальное название сквера, верно: сквер Нефтяников.

Верно: Северная и Южная Америка.

Орфографический словарь

Варианты различаются по смыслу: дата неверна = дата указана неверно; цена недействительна = цена изменилась. 

Правильно: Северная столица.